单墫《概率与期望》中有趣的概率题

之前我提到单墫的《概率与期望》,今天有空,就向大家分享此书中的一好题:

且说郭靖、周伯通、裘千仞三人曾在黑暗的屋子里互相搏斗,未分胜负。天亮后,三人约定采用手枪决斗,方式是按郭、周、裘的顺序轮流各射一枪(射击目标可以自行选择),周而复始,直到仅剩一人未被击中(被击中者当然立即倒下,不能再射击了)。
如果郭击中目标的概率是0.3,周击中目标的概率是1(百发百中,从不失手),裘击中目标的概率是0.5.问郭靖应该采用什么策略,能使他自己获得最大的生存率?
解:(全选看答案)

如果郭第一枪打裘,那么击中的概率为0.3.但在裘被击中时,周一枪即将郭撂倒。所以郭击中裘还不如不击中。在郭未击中裘时,周应当先开枪打危险性更大的裘(裘命中率>郭命中率),在裘被周击中后,郭有0.3的机会获胜(即最后剩下的人是郭)。因而在郭第一枪打裘时,过获胜的概率为
(1-0.3)×0.3=0.7×0.3=0.21<0.3
如果郭第一枪打周,那么击中的概率为0.3.在周被击中时,裘、郭轮流互射,郭胜的机会为
     0.5×0.3+0.5^2×0.7×0.3+0.5^3×0.7^2×0.3+…
=0.5×0.3[1+0.5×0.7+(0.5×0.7)^2+(0.5×0.7)^3+…]
=0.5×0.3×1/(1-0.50.7)=3/13
在周未被击中时,周先击中裘,然后郭、周互射,郭胜的机会为0.3.
因此,郭第一枪打周,获胜的概率为
0.3×3/13+(1-0.3)×0.3        (1)
由于3/13<0.3,所以(1)<0.3
两种选择(打裘或打周),郭胜的概率都小于0.3.
其实,郭还有第三种选择,即他第一枪不打裘也不打周,而是朝天放一空枪,然后周打中裘,郭再打周,郭获胜的概率为0.3
因此,郭靖的最佳策略是第一枪应放空枪。
结果让人大吃一惊,但又合乎逻辑,这正是数学的美妙之处,生活中的经验往往在数学推理下变得那么不靠谱。而数学的完全正确的逻辑却又让人感觉世界构造得如此奇怪。此外生日悖论、先验概率更让人感到不可思议。呵呵,这就是所谓的上帝笔法吧。
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